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Matemáticas con dB

Matemáticas con dB
‣ Las ondas electromagnéticas transportan potencia
eléctrica, medida en milivatios (mW).
‣ Los decibelios (dB) usan una relación logarítmica para
reducir las multiplicaciones a simples sumas.
‣ Se pueden simplificar los cálculos más comunes en
sistemas de radio usando dBm en lugar de mW para
representar valores de potencia.
‣ Es más fácil hacer los cálculos mentalmente usando dB.
Vamos a resolver algunos ejercicios sencillos de conversión entre dB y mW.
‣ Toda onda electromagnética transporta energía, podemos
apreciarlo cuando disfrutamos (o sufrimos) el calor del sol.
‣ La cantidad de energía recibida en en un tiempo determinado
se denomina potencia.
‣ El campo eléctrico se mide en V/m (voltios por metro), y la
potencia que contiene es proporcional a su cuadrado:
‣ La unidad de potencia es el vatio (W). En radio es más
conveniente utilizar el milivatio (mW).
La potencia P es de importancia primordial en radio (así como en otros
campos): se necesita una cierta potencia mínima para que el receptor pueda
discriminar la señal.
En la práctica, medimos la potencia utilizando algún tipo de receptor, por
ejemplo una antena y un voltímetro, un medidor de campo, analizador de
espectros o inclusive una tarjeta inalámbrica y un laptop.
‣ Si se incrementa la amplitud de una onda electromagnética
su potencia aumenta. Este aumento de potencia se llama
ganancia.
‣ Si se disminuye la amplitud,su potencia decrece. Esta
reducción de potencia se denomina pérdida.
‣ En el diseño de radioenlaces se trata de maximizar las
ganancias y minimizar las pérdidas.
Se “gana” señal en el transmisor usando un amplificador, o alineando
apropiadamente la antena.
Se “pierde” señal en los conectores, líneas de transmisión y naturalmente a
medida que la onda se propaga en el medio.
‣ Los decibelios son unidades de medida relativas, a
diferencia de los milivatios que constituyen unidades
absolutas.
‣ El decibelio (dB) es 10 veces el logaritmo decimal del
cociente de dos valores de una variable.
‣ El decibelio usa el logaritmo para permitir que relaciones
muy grandes o muy pequeñas puedan ser representadas con
números convenientemente pequeños.
‣ En una escala logarítmica, la referencia nunca puede ser cero
porque ¡el logaritmo de cero no existe!
El oído humano responde logarítmicamente a la potencia del sonido. Esta es la
razón por la que el sonido también se mide en dB.
‣ La disminución de la potencia con la distancia es cuadrática
en lugar de lineal.
‣ Cuando nos alejamos x metros, la señal disminuye en 1/x
de acuerdo con la “ley del inverso al cuadado”.
A la distancia de 1 metro → cierta cantidad de potencia
A la distancia de 2 metros → 1/4 de la potencia a 1 m
A la distancia de 4 metros → 1/16 de la potencia a 1 m
A la distancia de 8 metros → 1/64 de la potencia a 1 m
‣ La presencia de relaciones exponenciales en la medida de de
intensidad de las señales es una de las razones para utilizar
una escala logarítmica.
¿Para qué usar dB? Hay una motivación física: La ley del inverso al cuadrado.
Se explicará en la próxima lámina.
‣ La ley del inverso al cuadrado tiene un explicación
geométrica simple: la energía irradiada se esparce sobre
un área que es función de la distancia al transmisor.
Figura tomada de http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_square
Esta ley establece que la intensidad de cierta magnitud física es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente de la magnitud física. Se
aplica en general cuando una magnitud física es irradiada desde una fuente.
Como la superficie de una esfera (dada por 4πr
del radio, a medida que la radiación emitida se aleja de la fuente se esparce
sobre un área proporcional al cuadrado de la distancia a la misma, por lo que
la radiación que atraviesa cualquier área unitaria es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente.
Revisión rápida de los logaritmos
log(1)=0
log(0)=undefined
1
‣ Si x=10
‣ Loslogaritmosreducenlamultiplicaciones a sumas,
Para más detalles ver http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm
Pregunta: en que punto la línea cruza el número 2? ( respuesta: en100=102
modo que log10(100)=2 )
Nótese que también existen logaritmos en base al número e, denominados
logaritmos neperianos, con valor numérico distinto a los logaritmos en base a
‣ Los decibelios se definen en base a logaritmos para
permitir representar tanto relaciones muy grandes como
muy pequeñas con números fáciles de manejar
‣ Supongamos que estamos interesados en la razón o
cociente de dos valores a y b.
‣ En dB la razón se define como:
‣ Es una medida relativa,sin dimensiones (a relative a b)
‣ cociente = 10 log10(a/b)
‣ ¿Qué pasa si ahora usamos un valor que es 10 veces mayor?
‣ nuevo cociente = 10 log10(10a/b)
‣ El nuevo valor(en dB) essimplemente 10 más elvalorviejo,
de modo que la multiplicación por 10 se expresa
ahora simplemente como la adición de 10
unidades.
Note que log10(10) = 1
El logaritmo de la base del sistema es la unidad.
Algunos valores comunes y fáciles de recordar:
Por ejemplo:
Cierta potencia + 10 dB = 10 veces la potencia
Cierta potencia – 10 dB = un décimo de la potencia
Cierta potencia + 3 dB = doble de la potencia
Cierta potencia – 3 dB = mitad de la potencia
¡Memorice estos valores! Los usará a menudo.
‣ ¿Que pasa si quisiéramos medir una potencia absoluta en dB?
‣ La referencia que relaciona la escala logarítmica en dB a la
Tenemos que definir una referencia.
escala lineal en vatios puede ser, por ejemplo esta:
‣ La nueva m en dBm se refiere al hecho que la referencia es
un mW, y por lo tanto la medida en dBm es una medida de
la potencia absoluta referenciada a 1 mW.
¿Que pasa si queremos usar una escala logarítmica para expresar la potencia?
Para esto, tenemos que usar un valor de referencia para la potencia.
Supongamos que ese valor es 1 mW.
Definimos así el dBm tomando como rferencia 1 mW (milivatio)
0 dBm corresponde por lo tanto a 1 mW.
Note que es imposible expresar 0 mW (cero potencia, es decir la ausencia de
potencia) usando dBm!
‣ Para convertir potencia en mW a dBm:
PdBm = 10 log10 PmW
‣ Para convertir potencia en dBm a mW:
PmW = 10 PdBm/10 10 a la ( “Potencia en dBm” dividida
Estas fórmula se basan en la definición de dBm y permiten hacer la
conversión de mW a dBm y viceversa, pero hay una manera más simple que
no requiere de una calculadora como veremos pronto.
‣ Ejemplo: mW a dBm
‣ Ejemplo: dBm a mW
Ejemplo: imagine un radio con una potencia de100mW
Ejemplo: imagine que midió una señal de 17 dBm
Para estos cálculos se requiere una calculadora, pero hay una manera más
simple de obtener el resultado mentalmente como veremos pronto.
‣ En dB, las pérdidas y ganancias son aditivas.
Recuerde el ejemplo anterior:
Cierta potencia + 10 dB = 10 veces la potencia
Cierta potencia – 10 dB = un décimo de la potencia
Cierta potencia + 3 dB = doble de la potencia
Cierta potencia – 3 dB = mitad de la potencia
Imagine una situación en la que:
10 mW + 10 dB de ganancia = 100 mW = 20 dBm
10 dBm = 10 mW = un décimo de 100mW
20 dBm – 10 dB de pérdida = 10 dBm = 10mW
50 mW + 3 dB = 100 mW = 20 dBm
17 dBm + 3 dB = 20 dBm = 100 mW
100mW – 3 dB = 50 mW = 17 dBm
Usar dB facilita los cálculos, especialmente cuando se trata de ganancias y
Explique estos ejemplos paso a paso, usando las relaciones expuestas y el
hecho de que
100mW = 20dBm (como se vió anteriormente).
Usted puede hacer otros ejemplos, o pedirle a los estudiantes que los hagan.
Este gráfico puede usarse para convertir dBm a mW y viceversa.
Nótese que también puede usarse para convertir dB a cocientes de

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